Richardsonextrapolation

Formell förklaring
Richardsonextrapolation kan användas som förbättring eller som feluppskattning vid alla stegmetoder. Stegmetoder är generellt en metod som stegar med en steglängd $$h$$ och som för ett mindre $$h$$ får en bättre approximation. Vid richardsonextrapolation eliminerar man trunkeringsfelets ledande term. En extrapolation ges av $$F^* = F_2 + \dfrac{F_2 - F_1}{Q^{p_i} - 1}$$, där $$F_1$$ är approximationen med steget $$h$$ och $$F_2$$ är approximationen med steget $$h/Q$$. Konstanten $$p_i$$ beror av trunkeringsfelets $$h^p$$-term, alltså $$p = 2$$ för till exempel centraldifferenskvoten och $$p = 1$$ för framåt/bakåt-differenskvoten.

Informell förklaring
Om vi med steglängden $$h$$ får ut ett värde $$F_1$$ och med till exempel $$h/10$$ får ut ett mindre värde $$F_2$$, så kan vi dra slutsatsen att det verkliga funktionsvärdet (som vi vill approximera) är lite mindre än $$F_2$$. Detta ser vi eftersom vi med ett finare steg ($$h/10$$) fick ett lite lägre värde än med steget $$h$$. Richardsonextrapolation går då ut på att man tar differensen mellan $$F_2$$ och $$F_1$$ dividerat med lite crap (se ovan), och adderar denna till $$F_2$$. Då hamnar vårt approximerade värde lite lägre än $$F_2$$, vilket är en bättre approximation än själva $$F_2$$.

Härledning
Låt I beteckna det korrekta värdet. T är en funktion som ger ett närmevärde till I. T beror av steglängden h.

$$ I = T(h) + c_1 * h^p + ... $$

$$ I = T(h/Q) + c1 * (h/Q)^p + ... $$

$$ I - T(h) = c_1 * h^p + ... $$

$$ I - T(h/Q) = c1 * (h/Q)^p + ... $$

$$ I - T(h) = c_1 * h^p + ... $$

$$ Q^p *(I - T(h/Q)) = c1 * h^p + ... $$

$$ I - T(h) = Q^p *(I - T(h/Q)) $$

$$ I - T(h) = Q^p * I - Q^p * T(h/Q) $$

$$ I - Q^p * I = T(h) - Q^p * T(h/Q) $$

$$ I(1-Q^p) = T(h) - Q^p * T(h/Q) $$

$$ I = \dfrac{T(h) - Q^p * T(h/Q)}{(1-Q^p)} $$

$$ I = \dfrac{Q^p * T(h/Q) - T(h)}{(Q^p-1)} $$

$$ I = \dfrac{(Q^p - 1)* T(h/Q) + T(h/Q)- T(h)}{(Q^p-1)} $$

$$ I = T(h/Q) + \dfrac{T(h/Q)- T(h)}{(Q^p-1)} $$