Minstakvadratmetoden

Minstakvadratmetoden används för att approximera överbestämda ekvationssystem.

Lösning med transponat
För att lösa det överbestämda ekvationssystemet $$Ax$$ ≈ $$y$$ kan man multiplicera båda led med $$A^T$$. Man får då ekvationssystemet med $$A^TAx = A^Ty$$ som kallas för normalekvationerna. Sedan är det bara att lösa det nya ekvationssystemet med Gauss-Jordan elimination eller Matlab's funktion $$x = A$$ \ $$y$$. Lösningen kallas för minstakvadratlösningen och är den lösning till $$Ax = b$$ som ger minsta norm av residualvektorn.

Felkvadratsumman är $$||r||^2$$, där r är residualvektorn.

Minstakvadratanpassning
Man använder minstakvadratanpassning för att bestämma koefficienter i en given linjär kombination som ska gå genom kända punkter. Det betyder alltså att en funktion $$f(x)$$ delvis är given på formen $$f(x) = c_1f_1(x) + c_2f_2(x) + ... + c_nf_n(x)$$ där funktionerna $$f_1(x)$$ till $$f_n(x)$$är kända men koefficienterna okända. Det betyder också att man måste känna till givna punkter där funktionen $$f(x)$$ ska gå genom. Man behöver alltså känna till $$x_1$$ till $$x_n$$ samt $$y_1$$ till $$y_n$$.

Man har nu ekvationssystemet $$A*c = y$$, där c är koefficienterna som ska bestämmas och y är vektorn med de kända värdena $$y_1$$ till $$y_n$$. Ekvationssystemet är med största sannolikhet överbestämt och därför löser man ut $$c$$ genom att använda minstakvadratmetoden ovan.

Notera att man vill minimera felkvadratsumman när man minstakvadratanpassar, vilket betyder att man vill minimera uttrycket $$\sum (f(x_i) - y_i)^2$$.