Eulers metod

Eulers metod (Eulers stegmetod) är ett sätt att approximativt beräkna ordinära differentialekvationer av formen y' = f(t, y). Metoden utgår från taylorutveckling där man försummar alla termer utom de första 2. För att det ska fungera praktiskt krävs det att man har två begynnelsevillkor, ett för startvärdet och ett för derivatan.


 * $$y(t+h) = y(t) + y'(t)h\;$$ från taylors formel
 * Sätt $$y' = f(t,y)\;$$
 * $$y(t+h) = y(t) + f(t,y(t))h\;$$

Det metoden väldigt simpelt gör är att beräkna tangenten i en punkt och klättrar steget h framåt med hjälp av denna tangent. Sedan gör vi samma sak igen med hjälp av vår nya approximerade värde. Testa själv att följa diffen y' = sin(ty) och se om du får ut samma punkter som är markerade med ringar på bilden nedan.



Krav
För att man ska kunna använda Eulers metod krävs det att man funktionen är av första ordningens ODE. Alla ODE av n ordningar kan däremot omvandlas till flera ODE av första ordningen.

Fel
Härleder man Eulers metod via två termer i taylorutvecklingen så får man att trunkeringsfelet är proportionellt mot $$h^2$$. Detta kallas lokalt fel. Totalt antal lokala fel n fås genom $$n = (t(slut) - t(0)) / h)$$, vilket leder till att det globala felet är proportionellt mot $$h$$.

Ett bättre approximerat värde vid någon punkt fås genom att utnyttja richardsonextrapolation.

En bättre metod för att få noggrannare approximationer ges av Runge-Kuttametoden som kollar 2 eller fler tangenter innan nästa punkt approximeras. Eulers metod tar bara föregående tangenten.

Mer info på:

http://sv.wikipedia.org/wiki/Eulers_metod

http://www.csc.kth.se/~gerd/bokNumAlg.pdf s.95