Newton-Rhapson

Att hitta rötter

 * En linjär ekvation hittar man roten till analytiskt. Annars är man dålig. Om man är dålig kan man alltid använda Newton-Rhapsons metod vilket kommer att hitta roten med endast en iteration. Detta på grund av att $$f(x)/f'(x)$$ ger x-värdet för roten direkt.
 * En ickelinjär ekvation löser man med $$f(x)/f'(x)$$.
 * Ett linjärt ekvationssystem löser man bäst med Gauss-elimination eller så kan man lösa det på samma sätt som ett ickelinjärt ekvationssystem.
 * Ett ickelinjärt ekvationssystem löser man med hjälp av Jacobianmatrisen. Se nedan.
 * Ett överbestämt ickelinjärt ekvationssystem löser man genom at först beräkna minstakvadratlösningen och sedan beräkna rötterna till residualvektor på samma sätt som man löser ett ickelinjärt ekvationssystem.

Linjära samt ickelinjära ekvationer
Konceptet är att genom steg för steg approximera närmevärden till rötterna av en funktion $$ f(x) = 0\; $$. Vi börjar med en startgissning $$x_0\;$$ av den rot som ligger på intervallet $$I =[a\; b]$$. Tangenten tillhörande $$f(x_0)\;$$ skär då x-axeln i en punkt som betecknas $$x_1\;$$. Man bestämmer denna punkt genom formeln:

$$x_1=x_0+dx\;$$

där $$dx=-\frac{f(x_0)}{f^\prime(x_0)}\;$$

eller helt utvecklat:

$$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^\prime(x_0)}$$

Detta iterar man i sin tur med $$x_1\;$$ som startpunkt, och fortsätter tills korrektionstermen blivit tillräckligt liten. Den allmänna formeln blir då:

$$x_{n+1} = x_n-\frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)} $$

Sekantmetoden är en annan metod för att lösa funktioner, där $$f(x)\;$$ ej behöver vara deriverbar. Däremot är sekantmetoden långsammare då det krävs fler iterationer för att nå ett bra värde.

Linjära samt ickelinjära ekvationssystem
För att hitta rötter till ekvationssystem kan man enkelt följa dessa steg:
 * Bestäm Jacobianmatrisen J(x) med hjälp av partiell derivering.
 * Gissa startvärden för x.
 * ( # ) Beräkna J(x) samt f(x) utifrån våra gissade värden x. Notera att f(x) måste stå på formen f(x) = 0.
 * Lös det linjär ekvationsystemet dx = -J \ f.
 * Uppdatera: x = x + dx.
 * Upprepa från ( # ) tills önskad noggrannhet på korrektionstermen dx har uppnåts.

Newtons ansats
Mer om Newtons ansats, även kallat Newtons interpolationsformel, går att läsa om under polering.