Polering

Interpolation
Interpolation är en metod för att generera approximerade datapunkter mellan redan befintliga datapunkter. Simpelt förklarat så har man en massa punkter och drar antingen raka eller böjda linjer emellan dessa.

Interpolation med polynom
Givet $$n+1\;$$ st datapunkter finns ett entydigt polynom $$P_n(x)\;$$ av grad $$n\;$$, så att $$P_n(x_i) = f_i, i=1, 2, ..., n+1\;$$. Med andra ord så om man har n+1 st punkter så finns det ett (eller flera) polynom av grad n som man kan ansätta. Det finns flera sätt att ansätta $$P_n(x)\;$$.

En nackdel med interpolationspolynom av hög grad kan vara att de kan variera kraftigt mellan punkterna i början och slutet av intervallet. Detta kallas Runges fenomen. Om man har möjlighet att själv välja interpolationspunkter kan detta undvikas genom att ha ett tätare avstånd mellan interpolationspunkterna i början och slutet av intervallet än i mitten av intervallet.

Newtons ansats
Med Newtons interpolationspolynom ser ansatsen ut som:

$$P_n(x) = c_0 + c_1(x-x_1) + c_2(x-x_1)(x-x_2) + ... + c_n(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)\;$$

och det smidiga med denna ansats är att det blir enkelt att bestämma konstanterna $$C\;$$, som vid $$n=2\;$$ bestäms ur:

$$\begin{cases}& x_1: c_0                \quad = f_1 \\

& x_2: c_0 + c_1(x_2-x_1) \quad = f_2 \\

& x_3: c_0 + c_1(x_3-x_1) + c_2(x_3-x_1)(x_3-x_2) \quad = f_3

\end{cases}$$

vilket är ett lösbart system om $$x_1 \neq x_2 \neq x_3$$.

Tänk bara att du stoppar $$x_1$$ till $$x_3$$ i $$P_n(x)$$ och kolla vad som händer med polynomet. $$f_1$$ till $$f_3$$ är våra y-värden som vi har eftersom punkterna är kända. Följ samma precedur för nästa rad, det du ska se är att vi hela tiden bara har en okänd konstant som vi kan lösa ut enkelt.

Linjär (styckvis) interpolation
Ett annat sätt att undvika Runges fenomen när man har många mätpunkter att arbeta med är att byta interpolationsfunktion mellan interpolationspunkterna. Det enklast sättet är kanske att anpassa en rät linje mellan varje par av punkter. Det kallas linjär interpolation. I punkterna blir då ingen derivata definierad och resultatet kan se "hackigt" ut. Linjär interpolation är inte lämpligt om $$f\;$$ böjer sig mycket (om derivatan är för stor) eftersom det ger upphov till ett stort trunkeringsfel.

Det går dock att anpassa polynom av högre gradtal till interpolationspunkterna. Hermite-interpolation kan användas om derivatan är känd i interpolationspunkerna.

Om derivatan inte är känd i interpolationspunkerna går det ändå att få en mindre "hackig" funktion genom att ställa krav på kontinuitet i polynomens derivator i interpolationspunkterna. Kubiska splines är tredjegradspolynom med kontinuerlig första- och andraderivata i interpolationspunkerna.

Extrapolation
Extrapolering är approximation av mätvärden utanför ett mätområde. Extrapolering kan användas för att gissa mätvärden i ett område där det inte går att mäta.

Se även Richardsonextrapolation.